Einführung: Ebenen lesen und wechseln
Worum geht es?
Ein Sonnensegel wird an drei Punkten befestigt. Die Punkte bestimmen eine Ebene. Wir schreiben dieselbe Ebene zuerst als Bewegungsrezept und danach als Testbedingung.
Parameterform
Start bei einem Punkt. Gehe dann mit zwei Richtungsvektoren über die Fläche.
Koordinatenform
Ein Punkt gehört zur Ebene, wenn seine Koordinaten eine Gleichung erfüllen.
Gegeben
A = (0 | 2 | 1)
B = (3 | 3 | 1)
C = (1 | 4 | 3)
B = (3 | 3 | 1)
C = (1 | 4 | 3)
1. Parameterform aufstellen
Nutze A als Stützpunkt. Verwende \(\vec u=\overrightarrow{AB}=B-A\) und \(\vec v=\overrightarrow{AC}=C-A\).
erster Spannvektor \(\vec u=\overrightarrow{AB}\)
zweiter Spannvektor \(\vec v=\overrightarrow{AC}\)
Noch keine Eingabe geprüft.
2. Kreuzprodukt berechnen
Tipp: Schreibe die Komponenten der beiden Spannvektoren zweimal untereinander. Streiche die erste und letzte Zeile. Dann rechnest du: fallende Diagonalen minus steigende Diagonalen.
uxvx
uyvy
uzvz
uxvx
uyvy
uzvz
\[
\vec u\times\vec v=
\begin{pmatrix}
u_yv_z-u_zv_y\\
u_zv_x-u_xv_z\\
u_xv_y-u_yv_x
\end{pmatrix}
\]
Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf beiden Spannvektoren steht.
Dieser Schritt wird nach Schritt 1 freigeschaltet.
3. Koordinatenform ohne d
Aus dem Normalenvektor ergeben sich die Zahlen a, b und c der Koordinatenform \(ax+by+cz=d\).
Dieser Schritt wird nach dem Kreuzprodukt freigeschaltet.
4. Parameter d bestimmen
Tipp: Setze einen Punkt der Ebene ein, zum Beispiel \(A=(0|2|1)\).
Jetzt fehlt nur noch d.
\[E:2x-6y+5z=d\]
Dieser Schritt wird nach Schritt 3 freigeschaltet.