Punktprobe für Ebenen
Gegeben
A = (-4 | 2 | 0)
B = ( 4 | 6 | 0)
C = (-4 | 2 | 3)
Zu prüfender Ballpunkt P = (0,4 | 4,2 | 1,5)
B = ( 4 | 6 | 0)
C = (-4 | 2 | 3)
Zu prüfender Ballpunkt P = (0,4 | 4,2 | 1,5)
Der VAR prüft, ob der Ball noch in der Torebene liegt. Mathematisch wird untersucht, ob der Ballpunkt P in der Torebene liegt.
1. Torebene in Parameterform aufstellen
Nutze A als Stützpunkt und gib zwei Spannvektoren der Torebene ein.
erster Spannvektor
zweiter Spannvektor
Noch keine Eingabe geprüft.
2. Kreuzprodukt berechnen
Tipp: Schreibe die Komponenten der beiden Spannvektoren zweimal untereinander. Streiche die erste und letzte Zeile. Dann rechnest du: fallende Diagonalen minus steigende Diagonalen.
uxvx
uyvy
uzvz
uxvx
uyvy
uzvz
\[
\vec u\times\vec v=
\begin{pmatrix}
u_yv_z-u_zv_y\\
u_zv_x-u_xv_z\\
u_xv_y-u_yv_x
\end{pmatrix}
\]
Berechne einen Normalenvektor der Torebene mit dem Kreuzprodukt der Spannvektoren.
Dieser Schritt wird nach Schritt 1 freigeschaltet.
3. Koordinatenform ohne d aufstellen
Tipp: Aus dem Normalenvektor ergeben sich die Parameter a, b und c der Koordinatenform ax + by + cz = d.
Gib die Zahlen vor x, y und z an.
Dieser Schritt wird nach Schritt 2 freigeschaltet.
4. Parameter d bestimmen
Tipp: Setze einen Punkt der Torebene ein, zum Beispiel A=(-4|2|0).
Bestimme jetzt den fehlenden Parameter d.
\[E: 1x - 2y + 0z = d\]
Dieser Schritt wird nach Schritt 3 freigeschaltet.
5. Punktprobe durchführen
Tipp: Setze P=(0,4|4,2|1,5) in deine Ebenengleichung ein und berechne die linke Seite.
Berechne den Wert der linken Seite für den Ballpunkt P.
\[P=(0{,}4|4{,}2|1{,}5), \qquad E:x-2y+0z=-8\]
Dieser Schritt wird nach Schritt 4 freigeschaltet.
6. VAR-Entscheidung treffen
Tipp: Wenn der Wert der linken Seite gleich d ist, liegt P in der Torebene. Dann ist der Ball noch in der Torebene.
Welche Entscheidung ergibt sich aus der Punktprobe?
Dieser Schritt wird nach Schritt 5 freigeschaltet.